Если функция задана в параметрической форме x(t) , y(t) , то уравнение нормали находят по формуле:
(x–x 0)x’+(y-y 0)y’=0
Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для нахождения уравнения нормали к кривой . Решение оформляется в формате Word . Для получения уравнения необходимо выбрать вид заданной функции.
Алгоритм составления уравнения нормали к графику функции
- Вычисление значения функции y 0 в точке x 0:y 0 = f(x 0). Если исходное значение y 0 задано, то переходим к п.2.
- Нахождение производной y"(x).
- Вычисление значения производной при x 0 .
- Запись уравнения нормали к кривой линии в форме: y k = y 0 - 1/y"(y 0)(x - x 0)
Пример
Задание №1
Найти уравнение нормали к параболе y = 1/2*x 2 в точке (-2;2).
Решение
находим с помощью калькулятора .
Запишем уравнения нормали в общем виде:
По условию задачи x 0 = -2, тогда y 0 = 2
Теперь найдем производную:
y" = (1 / 2 x 2)" = x
следовательно:
f"(-2) = -2 = -2
В результате имеем:
или
y k = 1 / 2 x+3
Задание №2
Написать уравнения нормали к кривой y 2 -1/2*x 3 -8 в точке M 0 (0;2).
Решение
.
Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
или
следовательно:
F x "(0;2) = 3 / 4 0 2 /2 = 0
В результате имеем:
или
x = 0
Задание №3
Написать уравнения нормали к эллипсу, заданному в параметрической форме: x = 5*sqrt(2)*cos(t);y = 3*sqrt(2)*sin(t) в точке M 0 (-5;3).
Решение
.
Запишем уравнения нормали в для функции, заданной в параметрической форме:
(x - x 0)x" + (y - y 0)y" = 0
Данной точке M 0 (-5;3) соответствует значение t = 3 / 4 π
Для нашей функции:
следовательно:
В результате имеем:
(x +5)-5 + (y - 3)-3 = 0
или
y k = -5x-3y-16
Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?
На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точке и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:
Как найти производную? Производная сложной функции и .
Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной 3-й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение? Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявно либо параметрически .
Но сначала освежим воспоминания: если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти по следующей формуле:
Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными . Однако дело этим не ограничивается: если в точке существует бесконечная производная: , то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид . Дежурный пример: функция с производной , которая обращается в бесконечность вблизи критической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением: (ось ординат).
Если же производной не существует (например, производной от в точке ) , то, разумеется, не существует и общей касательной .
Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:
Что такое нормаль ? Нормалью к графику функции в точке называется прямая , проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке (понятно, что касательная должна существовать) . Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.
Как найти уравнение нормали ? Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим уравнение касательной и представляем его вобщем виде . Далее «снимаем» нормальный вектор и составляем уравнение нормали по точке и направляющему вектору .
Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых . Если существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением:
Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:
Пример 1
Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна .
В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =)
Решение : Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:
В данном случае:
Найдём
производную
:
Здесь
на первом шаге вынесли
константу за знак производной
,
на втором – использовали правило
дифференцирования сложной функции
.
Теперь вычислим производную в точке :
Получено конечное число и это радует. Подставим и в формулу :
Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде : Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле: Избавляемся от трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума: – искомое уравнение.
Ответ :
Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению:
– верное равенство.
– верное равенство.
И, во-вторых, векторы нормали должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения : , что и требовалось проверить.
Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых .
! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная и/или производная в точке . Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны!
Чертежа
по условию не требовалось, но полноты
картины ради:
Забавно,
но фактически получилась и полная
проверка, поскольку чертёж выполнен
достаточно точно =) Кстати, функция
задаёт
верхнюю дугу эллипса
.
Следующая задача для самостоятельного решения:
Пример 2
Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
Теперь разберём два особых случая:
1) Если производная в точке равна нулю: , то уравнение касательной упростится: То есть, касательная будет параллельна оси .
Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно оси , а значит её уравнение примет вид .
2) Если производная в точке существует, но бесконечна: , то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной: . И поскольку нормаль проходит через точку параллельно оси , то её уравнение выразится «зеркальным» образом:
Всё просто:
Пример 3
Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке . Сделать чертёж.
Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость.
Решение : составим уравнение касательной . В данном случае
Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:
Таким образом:
Поскольку касательная параллельна оси (Случай №1) , то нормаль, проходящая через ту же точку , будет параллельна оси ординат:
Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения:
Ответ : ,
В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так: «Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку» . Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной , касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.
Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда :
Пример 4
Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .
Краткое решение и ответ в конце урока
Случай №2, в котором на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной , а также имеют опыт нахождения производной по определению :
Пример 5
Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке
Решение
:
в
критической
точке
знаменатель
производной
обращается
в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить
односторонние производные
с
помощью определения производной (см.
конец статьи
Производная
по определению
):
Обе
производные бесконечны, следовательно,
в точке
существует
общая вертикальная касательная:
Ну,
и очевидно, что нормалью является ось
абсцисс. Формально по формуле:
Для
лучшего понимания задачи приведу
чертёж:
Ответ
:
Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции :
Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно?
Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:
Пример 6
Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке .
Решение : судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка , какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.
В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция в явном виде выглядит весьма туманной.
Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле .
Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению: Получено верное равенство, значит, с точкой всё в порядке.
Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно :
Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:
На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим :
Вот так-то!
Осталось аккуратно разобраться с уравнением:
Составим уравнение нормали:
Ответ :
Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:
Пример 7
Найти уравнение нормали к линии в точке
Хватит уже вымучивать касательную =)
В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точке радиуса и даже выразить нужную функцию . Но зачем?! Ведь найти производную от неявно заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.
Краткое решение и ответ в конце урока.
Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически?
Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции . А так – почти халява:
Пример 8
Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .
Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше) . Там даже изображена точка касания.
Решение : абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:
Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции :
И вычислим её значение при :
Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:
Уравнение нормали:
Ответ :
В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией:
Пример 9
Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .
Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета .
Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)
Спасибо за внимание и успехов!
Решения и ответы :
Пример 2: Решение В данном случае: Таким образом: Уравнение нормали составим по формуле : Ответ :
Пример
4:
Решение
:
уравнение касательной составим по
формуле:
В
данной задаче:
Таким
образом:
В
точке
касательная
параллельна оси
,
поэтому соответствующее уравнение
нормали:
Ответ
:
Пример 7: Решение : в данной задаче: . Найдём производную: Или: Подставим в выражение производной : Искомое уравнение нормали: Ответ :
Пример 9: Решение : в данном случае: Найдём производную и вычислим её значение при : Уравнение нормали: Ответ :
Взято с сайта http://www.mathprofi.ru
Т е м а : Понятия касательной и нормали.
Уравнения касательной и нормали.
Цели:
Предметные: познакомить студентов с понятиями: касательная и нормаль к кривой; закрепить данные понятия при решении задач на составление уравнений касательной и нормали; выяснить, каким свойством обладают угловые коэффициенты касательной и нормали.
Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию невраждебным для оппонентов образом; уметь слушать и слышать друг друга.
Познавательные : устанавливать причинно-следственные связи; выражать смысл ситуации различными средствами (рисунки, символы, схемы, знаки).
Регулятивные: принимать познавательную цель, сохранять ее при выполнении учебных действий, регулировать весь процесс их выполнения и четко выполнять требования познавательной задачи.
Личностные: формирование познавательного интереса к изучению нового, мотивации к самостоятельной и коллективной исследовательской деятельности.
Ход урока:
1. Актуализация опорных знаний студентов:
(Введение понятий касательной и нормали к кривой)
Мы знаем аналитический и физический смысл производной: (ответы студентов :
аналитический смысл – это, физический – это скорость процесса, заданного функцией).
Выясним геометрический смысл производной.
Для этого введём понятие касательной к кривой в данной точке.
Из школьного курса геометрии, вы знаете понятие касательной к окружности. (ответы студентов : касательная к окружности определяется как прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней единственную общую точку).
Но такое определение касательной неприменимо для случая произвольной кривой. Например, для параболы оси имеют по одной общей точке с параболой. Однако ось является касательной к параболе, а ось – нет. Дадим общее определение касательной к кривой в данной точке.
Пусть – некоторые точки произвольной кривой – секущая кривой. При приближении точки по кривой секущая будет поворачиваться вокруг точки
Определение. Предельное положение секущей при неограниченном приближении точки по кривой называется касательной к кривой в точке
Определение . Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.
Если – касательная к кривой в точке,
то перпендикулярная будет нормалью к кривой в точке
Объяснение нового материала:
(Выясним, в чем заключается геометрический смысл производной , каким свойством обладают угловые коэффициенты касательной и нормали).
Пусть кривая является графиком функции. Точки
лежат на графике функции. Прямая – касательная к кривой.
Угол наклона касательной
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой в точке или угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке .
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид
Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид
(3)
Проблемные вопросы : посмотрите на уравнения касательной и нормали, в чем их различие и сходство?
Чему равно произведение? Почему так происходит?
(Студенты должны дать следующие ответы на вопросы: -1, так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны)
Закрепление теоретического материала на практике:
( Решение задач в аудитории)
П р и м е р 1. Вычислите угловые коэффициенты касательных к параболе в точках.
Решение. Из геометрического смысла производной (формула 1) угловой коэффициент касательной.
Найдём производную функции: .
. Следовательно, .
Найдём значение производной в точке
Следовательно, .
П р и м е р 2. У параболы проведены касательные в точках Найдите углы наклона касательных к оси Ох.
Решение. По формуле (1)
Найдём. .
Вычислим значение производной в точке: .
Следовательно, и.
Аналогично в точке.
Следовательно, и
П р и м е р 3. В какой точке касательная к кривой наклонена к оси Ох
под углом
Решение. По формуле (1)
; . Следовательно, и
Подставив в функцию, получим. Получили точку.
П р и м е р 4. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке
Решение. Уравнение касательной к кривой имеет вид.
Из условия задачи. Найдём производную.
; .
Подставив все значения в уравнение получим уравнение касательной
или.
Составим уравнение нормали, воспользовавшись формулой:
или
Задачи для самостоятельного решения:
1.Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой в точке.
2.Кривая задана уравнением Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси, проведённых к кривой в точках в точках с абсциссами.
3.На кривой найти точку, в которой касательная параллельна прямой.
4.В какой точке касательная к кривой: а) параллельна оси; б) образует с осью угол 45?
5.Найти абсциссу точки параболы, в которой касательная параллельна оси абсцисс.
6.Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой в точке.
7.В какой точке касательная к кривой образует с осью угол 30?
8.В какой точке касательная к графику функции образует угол 135
с осью?
9.В какой точке касательная к графику функции параллельна оси абсцисс?
10.В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 3?
11.Найти угол наклона касательной к кривой в точке, абсцисса которой равна 2.
12.Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой
13.Составить уравнение касательной к гиперболе в точке
14.Составить уравнение касательной к кривой в точке.
15.Найти касательную к кривой в точке с абсциссой.
Ответы : 1) .12 2). 45°, arctg 5 3) .(1;1) 4) .(0;-1) (0,5;-0,75) 5) .1/2 6) .1 7) .(/6;61/12) 8) .(0:-1) (4;3) 9) .(0;4) (1;-5) 10) .(1;1) (-1;-1) 11) . 45° 12) .у = -2х-1 13) .у = -х+2 14) .у=4х+6 15) .у = 4х-2.
Критерий оценки : «5»- 15 заданий
«4»- 11-14 заданий
«3»- 8 заданий
4. Итоги урока : выставление оценок; + и – урока для студента (что понял и в чем еше предстоит разобраться?)
5. Домашнее задание: подготовить ответы на вопросы:
Дайте определение касательной к кривой.
Что называется нормалью к кривой?
В чём заключается геометрический смысл производной? Запишите формулу.
Запишите уравнение касательной к кривой в данной точке.
Запишите уравнение нормали к кривой в данной точке.
Решить задачи 1-15 по выбору критерия оценки; дополнительно по желанию : составить и решить карточку по данной теме.
Определение: нормалью к кривой у= ¦(х) в точке М 0 называется прямая, проходящая через точку М 0 и перпендикулярна касательной в точке М 0 к этой кривой.
Напишем уравнение касательной и нормали, зная уравнение кривой и координаты точки М 0 . Касательная имеет угловой коэффициент к= t g = ¦ , (х 0). Из аналитической геометрии известно, что прямая имеет уравнение у- у 0 = к(х – х 0).
Поэтому уравнение касательной: у - у 0 = ¦ , (х 0)(х – х 0); (1)
Угловой коэффициент нормали К н = (так как они перпендикулярны), но тогда уравнение нормали:
у- у 0 =(-1/ ¦ , (х 0)(х – х 0); (2)
Если в точке не существует производная, то в этой точке не существует и касательная.
Например, функция ¦(х)=|х| в точке х=0 не имеет производной.
lim D х ®0 (D у/ D х)= lim D х ®0 (| D х|/ D х)=
Односторонние пределы существуют, но lim D х ®0 (D у/ D х) не существует
Касательная тоже.
Такая точка называется угловой точкой графика.
§4. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
Справедлива следующая теорема о дифференцируемой функции.
Теорема: если функция у= ¦(х) имеет конечную производную в точке х 0, то функция непрерывна в этой точке.
Доказательство:
Т.к. в точке х 0 существует производная ¦ , (х 0), т.е. существует предел
lim D х ®0 (D у/ D х)= ¦ , (х 0), то D у/ D х= ¦ , (х 0)+ , где
Б.м.в., зависящая от D х. При D х®0, ®0, т.к. = (D у/ D х) - ¦ , (х 0) ®0 при D х®0
Отсюда имеем: D у= ¦ , (х 0) D х + D х.
Но тогда
Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, поэтому ¦(х) непрерывна в точке х 0 .
Важно понять, что обратная теорема не верна!
Не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.
Так, ¦(х) =|х| является непрерывной в точке х 0 =0, график – сплошная линия, но ¦ , (0) не существует.
§5. Производные постоянной, синуса, косинуса и степенной функции.
1. у= ¦(х) =с; у, = (с) , = 0; (1)
Доказательство:
а) в любой точке х ¦(х) = с
б) дадим х приращение D х, х + D х, значение функции ¦ (х + D х)= с;
в) ¦ (х + D х)- ¦(х)= с- с= 0;
г) D у/ D х= 0/ D х = 0
д) lim D х ®0 (D у/ D х)= lim D х ®0 0 = 0
2. у= sin х; у, = (sin х) , = cos х; (2)
Доказательство:
а) в любой точке х ¦(х) = sin х;
б) дадим х приращение D х, х + D х, значение функции