Пользуясь законами де Моргана, нетрудно определить правило, по которому строится высказывание, противоположное данному. Для построения противоположного высказывания, следует записать высказывание в виде формулы, а затем надчеркнуть эту формулу и упростить полученное высказывание, пользуясь доказанными законами математической логики.

Очень часто в высказываниях (особенно, математических) присутствуют кванторы общности () или существования (). При построении противоположного высказывания данные кванторы взаимно заменяют друг друга. Поэтому правило построения высказывания, противоположного высказыванию, содержащему кванторы, такое. В исходном высказывании выделяется основная фраза, которая содержится в последней части высказывания. При построении противоположного высказывания кванторы взаимно заменяются, а последняя фраза заменяется на противоположную.

Примеры. 1. Исходная фраза: «Каждого человека посещает мысль о том, что либо он должен поместить все деньги в банк, либо приобрести акции нефтяных компаний».

Запишем с помощью кванторов: « у человека мысль (( деньги положить в банк) (приобрести акции нефтяных компаний))». То, что мы поместили в скобку, и есть основная фраза, содержащаяся в последней части высказывания. Фраза, противоположная той, что в скобках, в формальной записи имеет вид: (( деньги, не положенные в банк) (не приобретать акции нефтяных компаний)). Операция дизъюнкции заменена на операцию конъюнкции в соответствии с законом де Моргана. Запись высказывания, противоположного исходному, в кванторах имеет вид: « человек, у которого мысль (( деньги, не положенные в банк) (не приобретать акции нефтяных компаний))».

После некоторой литературной обработки наше высказывание принимает вид: «Есть люди, твердо уверенные в том, что не все деньги следует доверять банкам и что нельзя покупать акции нефтяных компаний».

2. Аналогичным способом строятся высказывания, противоположные математическим, таким как «Для любого существует такое, что при любом , обладающем свойством , выполняется неравенство ».

Запишем исходное высказывание в кванторах: « такое, что ». Противоположное высказывание в кванторах имеет вид « такое, что ,()». Читается противоположное высказывание так: «существует такое , что для любого положительного можно подобрать такое , что , и при этом ».

Кстати, исходное высказывание – это математическое определение того факта, что функция имеет в точке предел, равный . Противоположное высказывание – это математическое определение того, что у функции в точке либо не существует предела, либо есть предел, отличный от нуля.

Задания

1. Среди предложений выделите высказывания и определите их истинностные значения: 1) Рыбы живут в воде. 2) Осень – хорошее время года. 3) Казань – столица США. 4) Волга впадает в Каспийское море. 5) Не ходи сюда! 6) 2 + 2 = 4. 7) 3 – 5 = 8.

2. Пусть А: «Сегодня буду писать отчет»; В: «Сегодня буду отдыхать»; С: «На улице идет дождь». Сформулируйте предложения соответствующие формулам:

1) А^В, 2) С^В, 3) ⌐А^В, 4) С^А, 5) А Ú ⌐В, 6) ⌐ С Ú А, 7) С→ ВÚА, 8) (В↔С) ^А.

3. Составьте формулы, соответствующие повествовательным предложениям, обозначая буквами элементарные высказывания: 1) Идет дождь или кто-то не выключил душ; 2) Если вечером будет туман, то я останусь дома или вынужден буду взять такси; 3) Если я устал или голоден, то не могу заниматься; 4) Если Роман проснется и пойдет на лекцию, то он будет доволен, а если не проснется, то не будет доволен; 5) Хлеба уцелеют тогда и только тогда, когда будут вырыты ирригационные канавы, а если хлеба не уцелеют, то фермеры обанкротятся и оставят свои фермы.

4. Сформулируйте словесно высказывания:

1) (АÚ В) →С, С→(А^В), где А: лето жаркое; В: лето дождливое; С: я поеду в отпуск;

2) (А^ В) →С, (АÚ В) → С, где А: фигура ромб; В: фигура прямоугольник; С: фигура параллелограмм;

3) (⌐ АÚВ) → ⌐С, С→(АÚ ⌐В), где А: сегодня светит солнце; В: сегодня сыро; С: я поеду на дачу.

5. Докажите с помощью таблиц истинности равносильность формул:

1) А → (В → С) º (А^В) →С;

2) (А→В) ^(А→С) º А→(В^С).

6. В результате тестирования были установлены следующие факты(И):

1) если Иванов не увлекается историей, то либо Петров, либо Сидоров ею увлечены, причем не Сидоров и Иванов одновременно;

2) если Сидоров не увлечен историей, то Иванов увлечен ею, Петров нет;

3) если Иванов историк, то и Сидоров историк.

Выяснить, кто согласно указанным фактам увлекается историей.

7. Пусть значение высказывания А →В = И, что можно сказать о значении высказывания

⌐А ^В ↔А ÚВ?

8. Проверить, является ли данная логическая формула тавтологией:

1) (А Ú В) → В Ú⌐А; 2) А Ú В ↔⌐(⌐А ^ ⌐В); 3) А → (А Ú (⌐В^ А)).

9. Переведите каждое рассуждение в логическую символику и установите, имеет ли место в нем логическое следование:

1) Если он принадлежит к нашей компании (К), то он храбр (Х) и на него можно положиться (П). Он не принадлежит нашей компании. Значит, он не храбр или же на него нельзя положиться.

2) В бюджете возникнет дефицит (D), если не повысят пошлины (P). Если в бюджете имеется дефицит, то государственные расходы на общественные нужды сократятся (O). Значит, если повысят пошлины, то государственные расходы на общественные нужды не сократятся.

4) Если бы он ей не сказал, она ни за что не узнала бы. А не спроси она его, он бы и не сказал. Но она узнала. Значит: Она его спросила.

5). Если бы он не пошел в кино, он не получил бы двойки. Если бы он подготовил домашнее задание, то он не пошел бы в кино. Он получил двойку. Значит, он не подготовил домашнее задание.

10. Проверить правильность рассуждения средствами логики суждений: «Если бы он не пошел в кино, он не получил бы двойки. Если бы он подготовил домашнее задание, то он не пошел бы в кино. Он получил двойку. Значит, он не подготовил домашнее задание».

19 . Пользуясь правилом построения противоположного высказывания, записать утверждения, противоположные следующим:

1) На любом курсе каждого факультета КГУ есть студенты, сдающие все экзамены на «отлично».

2) Каждый студент философского факультета КГУ имеет друга, который умеет решать все логические задачи.

3) В любом самолете на рейсе Вашингтон-Москва присутствует хотя бы один сотрудник силовых органов, в каждой пуговице одежды которого вмонтирован микрофон.

Элементы теории множеств

Понятие множества или совокупности принадлежит к числу простейших математических понятий. Оно не имеет точного определения. Любое множество задается своими элементами. Примерами являются множество книг в библиотеке или множество студентов, присутствующих на занятии. Обычно множество обозначают заглавными латинскими буквами (A), а его элементы строчными латинскими буквами (a). То, что элемент принадлежит множеству, обозначают так: a A. Если a не принадлежит A, то этот факт обозначают так: a A.

Чтобы задать множество, следует или перечислить его элементы, или указать характеристическое свойство его элементов, то есть такое свойство, которым обладают все элементы множества и только они.

Примеры. 1. Множество натуральных чисел можно задать так: N={1, 2, 3,…,n, n+1,…}. Из записи следует, что все натуральные числа, начиная с двойки, получаются прибавлением единицы к предыдущему числу.

2. Множество целых чисел можно задать так: Z={0, 1 ,–1, 2, –2,…,n, –n,…}.

3. Множество рациональных чисел можно задать так:

={ | }. Вертикальная черта внутри фигурной скобки

Два множества равны тогда и только тогда, когда состоят из одних и тех же элементов. Если все элементы множества A содержатся в множестве B, то говорят, что A является подмножеством множества B и обозначают A B.

В рамках рассматриваемой математической теории вводят два исключительных множества: пустое множество (), не содержащее элементов, и универсальное множество или «универсум» (U), содержащее все элементы данной теории.

Аксиоматика операций над множествами

Основными операциями над множествами являются следующие.

1. Дополнение. Для любого множества определим дополнение .

Например, в множестве вещественных чисел дополнением к множеству является множество всех иррациональных чисел.

2. Объединение. Для любых двух множеств определим объединение .

Например, объединением отрезков и является отрезок .

2. Пересечение. Для любых двух множеств определим пересечение .

Отрицание Информатика 2 класс МОУ «СОШ №56» г.Новокузнецк Свириденко Наталья Анатольевна

Закрепить понятие отрицание ; научить отрицанию с помощью частицы НЕ.

Учебно-познавательная – формирование умений работать с понятием отрицание, и использовать частицу НЕ.

Развивающая - развитие познавательных и творческих способностей учащихся, наглядно-образного мышления.

Воспитательная - воспитание усидчивости, аккуратности, внимательности при выполнении практических работ.

• мультимедийный комплекс (интерактивная доска, проектор, компьютер);
• компьютер с выходом в интернет;
• средства прослушивания медиаприложений (колонки);
• компьютерный класс с локальной сетью;
• программа Flash – проигрыватель;
• рабочая тетрадь «Информатика в играх и задачах 2 класс» (часть 2).

Оборудование:

Тип составного урока – урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Структура составного урока

3 –подготовка к основному этапу урока;

4 – изучение нового материала (усвоение новых знаний и способов действий);

5 – первичная проверка понимания.

Короткий

Съедобный

14. Напиши слова, противоположные по смыслу.

Стеклянный

Маленький

Страшный

Грустный

Холодный

15. Вычеркни лишний предмет. Дай объяснение, употребив частицу «не». 16. Нарисуй забор между двумя группами животных. Назови каждую группу. 17*. Нарисуй предмет с противоположными признаками. Задание из коллекции ЦОР

Загрузить

18. Нарисуй предмет.

А) Не квадратный

Б) Не красный, не круглый

19. Обведи того, кого загадали: «Не зверь, не птица, не жёлтый, не зелёный». Задание из коллекции ЦОР

Загрузить

20. У тебя есть игрушки: и цвета: Нарисуй для каждого случая игрушку.

Физкультминутка для улучшения мозгового кровообращения а). Исходное положение - сидя на стуле.

• 1-голову наклонить вправо;
• 2-исходное положение;
• 3-голову наклонить влево;
• 4-исходное положение;
• 5-голову наклонить вперёд, плечи не поднимать;
• 6-иcходное положение.
____________________________________ Повторить 3-4 раза. Темп медленный, б). Исходное положение - стоя, руки на поясе.
• 1-поворот головы направо;
• 2-исходное положение; 3-поворот головы налево;
• 4-исходное положение. _______________________________
Повторить 4-5 раз. Темп медленный.

21. Если высказывание содержит одно из этих слов, то какое слово будет у его отрицания?

ВСЕГДА ____________________________________________________________

НЕКОТОРЫЕ ________________________________________________________

НИКОГДА__________________________________________________________

ВСЕ________________________________________________________________

ИНОГДА___________________________________________________________

Задание из коллекции ЦОР

Загрузить

22. Напиши высказывания, противоположные по смыслу.

А) Лена умеет кататься на коньках.

Б) Алёша не любит мороженое.

_____________________________________________________________________

*В) Все птицы летают.

_____________________________________________________________________

*Г) Ученики всегда получают «пятёрки».

_____________________________________________________________________

Загадки Не ездок, а со шпорами, Не сторож а всех будит.

Не слон а с хоботом,

Не птица, а летит,

Не мотылёк,

А садится на цветок.

23. Составь пары противоположных по смыслу высказываний и впиши пропущенные слова.

ЛЮДИ

НОСЯТ ОЧКИ

ИДЁТ ДОЖДЬ

ЛЕТОМ

ИДЁТ ДОЖДЬ

УМЕЮТ ПЛАВАТЬ

РЫБЫ

УМЕЮТ ПЛАВАТЬ

Домашнее задание Ст. 50, упр. 24

Конспект урока по информатике

Тема: «Понятия «истина» и «лож». Мир информатики 3 класс, элементы логики, слова – кванторы (доп. Координаты)».

Цели деятельности учителя:

Познакомить с понятиями «истина» и «лож»;

Развивать познавательный интерес, умение анализировать, обобщать, сравнивать;

Воспитывать стремление к получению новых знаний;

Познакомить с компьютерной программой «»

Планируемые результаты:

Личностные :

Развитие логическое мышление, наблюдательности, речи;

Воспитание трудолюбия, внимания, усидчивости;

Развивать самостоятельность, инициативность в выборе решения.

Предметные:

Познакомятся с понятием «истина» и «лож»;

Овладеют навыками работы с данными понятиями;

Получат возможность применить полученные теоретические знания на практике, в течение урока;

Познакомятся с компьютерной программой «»

Тип урока: открытие новых знаний.

Оборудование: Учебник «Информатика в играх и задачах», 2 класс, часть 2, автор Горячев А.В.; ПО Microsoft Power Point, мультимедийный проектор, презентация.

Подписи к слайдам:

Капуста Помидор Морковь Лимон Груша Абрикос Проверка ОВОЩИ ФРУКТЫ

Капуста Помидор Морковь Лимон Груша Абрикос ОВОЩИ ФРУКТЫ Подпись ложна Подпись ложна

Познакомиться с понятиями истина и ложь; - Научиться работать с этими понятиями;

а) б) в) г) АРБУЗ СТОЛ ВОЗДУШНЫЙ ШАРИК ГОЛУБАЯ ЧАШКА

УТЮГ ГОЛУБАЯ ТЕТРАДЬ ТРЕУГОЛЬНЫЙ КОНВЕРТ СЕРЫЙ ГУСЬ КРУГЛЫЙ ПРЕДМЕТ ПОЛОСАТЫЙ ТИГР

7 (а). Если высказывание истинно (правда), напиши около него букву «И», если ложно (неправда) – букву «Л» Все предметы на рисунке – растения. На рисунке нет ни одного цветка. Некоторые предметы на рисунке – растения. Каждое растение на рисунке – куст. Все деревья на рисунке – хвойные. На рисунке есть деревья.

ЗЕЛЁНЫЕ КРАСНЫЕ

9. В одном из этих горшков лежит мед. Помоги Винни – Пуху найти мед, если известно, что надписи либо обе истины, либо обе ложны. Раскрась этот горшок Мёд здесь В этих горшках мёда нет

10. Обведи имя мальчика, который спрятал мишку. Все высказывания мальчиков неверны. ДИМА ЖЕНЯ ВИТЯ Мишка у меня Мишка у меня У жени мишки нет Мишка у Вити Проверка

Не понравилось, было скучно! Понравилось, но не все! Все понравилось, было поучительно!

Объектами изучения логики являются ФОРМЫ МЫШЛЕНИЯ: понятие, суждение и умозаключение.

ПОНЯТИЕ - это мысль, в которой обобщаются отличительные свойства предметов. Т.к. язык является формой выражения мысли, то в языке термину "понятие" соответствует "слово". Но человек не мыслит отдельными понятиями. Выражая свои мысли, он составляет слова в предложения. Предложение в языке есть суждение в мыслях.

СУЖДЕНИЕ (высказывание) - есть мысль (выраженная в форме повествовательного предложения), в которой нечто утверждается о предмете действительности, которая объективно является либо истинной, либо ложной. Правда, истинность суждения относительна (приведите примеры). Говорят, что суждение может иметь одно из двух значений истинности: "истина" или "ложь". СУЖДЕНИЕ ИСТИННО (имеет значение истинности - истина), ЕСЛИ ОНО СООТВЕТСТВУЕТ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ. Критерий истинности - практика (утверждал В.И.Ленин). К числу суждений не относятся мысли, не имеющие значения истинности. Таким мыслям в языке соответствуют вопросительные и побудительные предложения. Является ли суждением фраза: "Иванов сдаст экзамен на отлично"? Да, ведь это не вопросительное и не побудительное предложение. Но значение истинности его не определено, пока не пройдет экзамен.

Суждение, значение истинности которого не однозначно, называется ГИПОТЕЗОЙ. Отношение к гипотезе среди ученых тоже было неоднозначным. Например Исаак Ньютон утверждал: "Hypotheses non fingo" - "Гипотез не измышляю". М.В.Ломоносов же, напротив, писал, что гипотезы "дозволены в философских предметах и даже представляют собой единственный путь, которым величайшие люди дошли до открытия самых важных истин. Это - нечто вроде порыва, который делает их способными достигнуть знаний, до каких никогда не доходят умы низменных и пресмыкающихся во прахе..." Правда, была и оговорка: "Я не признаю никакого измышления и никакой гипотезы, какой бы вероятной она ни казалась, без точных доказательств".

Суждения (высказывания), как и предложения в нашем языке, бывают простыми и сложными. Простые суждения неразложимы. Сложные суждения образуются из простых при помощи ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (операций). Рассмотрим некоторые из этих функций.

В обыденной речи мы часто пользуемся словом "НЕ", или словами "НЕВЕРНО, ЧТО", когда хотим что-то отрицать. Пусть, например, кто-то сказал: "Тоска зеленая." (Обозначим это высказывание А). Если Вы не согласны, Вы скажете:" Тоска НЕ зеленая." Или:" Неверно, что тоска зеленая." (Ваше высказывание обозначим В). Нетрудно заметить, что значения истинности высказываний А и В находятся в определенной связи: если А истинно, то В ложно, и наоборот. Функция, с помощью которой из высказывания А получается высказывание В, называется ОТРИЦАНИЕМ и само высказывание В называется ОТРИЦАНИЕМ ВЫСКАЗЫВАНИЯ А и обозначается А. Мы получили определение:

Отрицанием? А некоторого высказывания А называется такое высказывание, которое истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно.

Отрицание высказывания А обозначим А. Определение отрицания может быть записано с помощью так называемой таблицы истинности:

В ней указано, какие значения истинности (Истина, Ложь) принимает отрицание А в зависимости от значений истинности исходного высказывания А.

Если два высказывания соединены союзом И, то полученное сложное высказывание обычно считается истинным тогда и только тогда, когда истинны оба составляющие его высказывания. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза «И» сложное высказывание также считается ложным. Например, возьмем два высказывания:

"У кота есть хвост" (А) "У зайца есть хвост" (В)

Сложное высказывание "У кота есть хвост и у зайца есть хвост" истинно, т.к. истинны оба высказывания А и В. Но если взять другие высказывания:

"У кота длинный хвост" (С) "У зайца длинный хвост" (D)

то сложное высказывание "У кота длинный хвост и у зайца длинный хвост" будет ложным, т.к. ложно высказывание (D). Таким образом, исходя из обычного смысла союза И, приходим к определению соответствующей логической функции - КОНЪЮНКЦИИ:

Конъюнкцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В.

Конъюнкцию высказываний А и В мы обозначим: A & B. Знак & - амперсент -- читается как английское "and". Часто встречается обозначение А / В. Иногда, для краткости, пишут просто АВ.

Определение конъюнкции может быть записано в виде таблицы истинности, в которой для каждого из четырех возможных наборов значений исходных высказываний А и В задается соответствующее значение конъюнкции А & В:

Определение конъюнкции двух высказываний естественным образом распространяется на любое конечное число составляющих: конъюнкция А 1 & A 2 & A 3 &...& A N истинна тогда и только тогда, когда истинны все высказывания А 1 , A 2 , A 3 , ...A N (а, следовательно, ложна, когда ложно хотя бы одно из этих высказываний).

Если два высказывания соединены союзом ИЛИ, то полученное сложное высказывание обычно считается истинным, когда истинно ХОТЯ БЫ ОДНО из составляющих высказываний. Например, возьмем два высказывания:

"Мел черный." (А) "Доска черная." (В)

Высказывание "Мел черный или доска черная" будет истинным, т.к. одно из исходных высказываний (В) истинно. Получаем определение функции ДИЗЪЮНКЦИИ:

Дизъюнкцией двух высказываний называется такое новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно ХОТЯ БЫ ОДНО из этих высказываний.

Дизъюнкцию высказываний А и В мы обозначим символом А V В и будем читать: А или В. Определение дизъюнкции может быть записано в виде таблицы истинности:

Определение дизъюнкции двух высказываний естественным образом распространяется на любое конечное число составляющих: дизъюнкция А 1 V А 2 V А 3 V...V А N истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний А 1 , А 2 , А 3 , ..., А N (а следовательно, ложна, когда ложны все эти высказывания).

Как Вы думаете, в каком случае два простых высказывания можно считать эквивалентными (равносильными). Чисто интуитивно можно догадаться, что высказывания эквивалентны, когда их значения истинности одинаковы. Например, эквивалентны высказывания: "железо тяжелое" и "пух легкий", так же как и высказывания: "железо легкое" и "пух тяжелый". Обозначим эквиваленцию символом <=> и запись "А <=> В" будем читать "А эквивалентно В", или "А равносильно В", или "А, если и только если В". Запишем определение:

Эквиваленцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания А и В истинны или оба ложны.

Отметим, что высказывание типа "А, если и только если В" можно заменить высказыванием "Если А, то В и, если В, то А" (обдумайте это на досуге и обратите внимание на символ <=>). Следовательно, функцию эквиваленции можно заменить комбинацией функций импликации и конъюнкции. Запишем таблицу истинности для эквиваленции:

Попробуем записывать сложные высказывания схематически с помощью обозначения логических связок:

1. "Быть иль не быть - вот в чем вопрос." (Шекспир) А V ?A <=> В

2. "Если хочешь быть красивым, поступи в гусары." (К. Прутков) А => В

Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию истинности или ложности простых. Эту функцию называют БУЛЕВОЙ ФУНКЦИЕЙ СУЖДЕНИЙ (F(A,B)). Рассмотрим примеры построения таблиц истинности для сложных суждений.

1. А <=> А (закон "отрицания отрицания": Отрицание отрицания суждения тождественно самому суждению.)

Вы знаете, что ТЕОРЕМА - это предложение, истинность которого доказывается на основе аксиом или ранее доказанных теорем. Теоремы часто формулируются в виде импликаций. Импликативная структура наиболее удобна для выделения условия и заключения теоремы (того, что дано, и того, что необходимо доказать). Если импликация А => В выражает некоторую теорему, то основание импликации А выражает условие, а следствие В - заключение теоремы. Условие или заключение в свою очередь может не быть элементарным высказыванием, а иметь определенную логическую структуру, чаще всего конъюнктивную или дизъюнктивную. Рассмотрим примеры:

1. Теорема "Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны или делят его углы пополам, то этот параллелограмм - ромб" имеет структуру А V В => C, где А - "диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны"; В - "(диагонали параллелограмма) делят его углы пополам"; С - "этот параллелограмм - ромб".

2. Теорема о средней линии трапеции имеет структуру: А => В & С, где А - "четырехугольник - трапеция"; В - "его средняя линия параллельна основаниям"; С - "(его средняя линия) равна полусумме оснований".

Часто в формулировках теорем используется выражение "необходимо и достаточно" (ПРИЗНАК). В логике это выражение соответствует эквиваленции, которая, как известно, представима в виде конъюнкции двух импликаций. Одна из этих импликаций выражает теорему, доказывающую НЕОБХОДИМОСТЬ признака, другая выражает теорему, доказывающую ДОСТАТОЧНОСТЬ признака. Например, признак перпендикулярности двух плоскостей:

"Для того чтобы две плоскости были перпендикулярны, НЕОБХОДИМО и ДОСТАТОЧНО, чтобы одна из них проходила через прямую, перпендикулярную к другой", может быть сформулирован и так: "Две плоскости перпендикулярны, ЕСЛИ И ТОЛЬКО ЕСЛИ одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой":

А <=> В или А => B & B =>A.

Для преобразования суждений важны следующие законы:

1) ??А <=> A закон двойного отрицания;

2) ?(A&B) <=> ?A V ?B законы де Моргана;

3) ?(AVB) <=> ?A & ?B

4) A => B <=> ?A V B замена импликации.

Для построения высказываний о всеобщности и о существовании вводятся операции связывания кванторами (или "навешивания кванторов").

Выражение "для всех Х" ("для любого Х") называется КВАНТОРОМ ВСЕОБЩНОСТИ и обозначается символом: ?Х.

Выражение "существует Х такое, что..." называется КВАНТОРОМ СУЩЕСТВОВАНИЯ и обозначается символом: ?Х.

Выражение "существует точно одно Х такое, что..." называется КВАНТОРОМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ и обозначается символом: ?! Х.

Пример: Высказывание (суждение) "Ты любишь потому, что ты любишь. Не существует причин, чтобы любить." (Экзюпери) можно записать в виде:

А => А. ??В.

где A - "ты любишь", В - "причины любви".

Исчисление предикатов расширяет язык исчисления высказываний так, что мир оказывается, состоящим из объектов, отношений и свойств.

Логику предикатов можно рассматривать как компоненту естественного языка, имеющую в соответствии со сложностью синтаксических правил иерархическую структуру, которую образуют предикаты первого порядка, второго и так далее. Для логики предикатов определено множество значений и на его основе определены слова как последовательности знаков. Функцией языка предикатов является задание слов двух типов:

1. Слова, задающие сущности изучаемого мира.

2. Слова, задающие атрибуты / свойства этих сущностей, а также их поведение и отношения.

Первый тип слов называется термами, второй - предикатами.

Некие сущности и переменные определяются упорядоченными последовательностями конечной длины из букв и символов, исключая зарезервированные. Константы и переменные определяют отдельные объекты рассматриваемого мира. Последовательность из n констант или переменных (1 n <), заключенная в круглые скобки, следующие за символом функции, имя которой задано некоторой конечной последовательностью букв, называется функцией.

Например, функция f(x, y) принимает некоторые значения, которые определяются значениями констант и переменных (аргументов функции), содержащимися под знаком функции. Эти значения, так же как и аргументы, являются некоторыми сущностями рассматриваемого мира. Поэтому все они объединяются общим названием терм (константы, переменные, функции).

Атомарным предикатом (атомом) называется последовательность из n (1 n <) термов, заключенных в круглые скобки, следующие за предикатным символом, имя которого выражается конечной последовательностью букв. Предикат принимает одно из двух значений true или false в соответствии со значениями, входящих в него термов.

Предикат Нераспространенное простое предложение

Из атомов с помощью, выполняющих функции союзов, символов составляются логические формулы, соответствующие сложным предложениям. В логике предикатов используются два класса символов. Первый класс соответствует союзам и включает операции дизъюнкции, конъюнкции, отрицания, импликации и эквивалентности.

Символы первого класса позволяют определять новый составной предикат, используя уже определенные предикаты. Различие между символами первого класса лежит в правилах, в соответствии с которыми определяются значения истинности или ложности составного предиката в зависимости от истинности или ложности элементарных предикатов. Символы и, вообще говоря избыточны так, как:

но используются т.к. эквивалентен фразе «Если А, то В», а - «А и В эквивалентны».

В качестве символов второго класса используются и. Эти символы называются кванторами общности и существования, соответственно. Переменная, которая квантифицирована, т.е. к ней применен один из кванторов, называется связанной. Квантор общности является обобщением, аналогом конъюнкции, а квантор существования - обобщением, аналогом дизъюнкции на произвольное, не обязательно конечное множество.

Действительно, пусть Тогда для любого предиката U выполняется:

Аналогом законов Де Моргана для кванторов являются:

Таким образом, чтобы найти отрицание выражения, начинающегося с кванторов, надо каждый квантор заменить на его двойственный и перенести знак отрицания за кванторы. Отсюда:

Функция, двойственная к данной, есть функция, в которой взяты отрицания от всех операций и от всех операндов, и обозначается.

Общезначимое равенство между функциями влечёт общезначимое равенство между двойственными функциями. Из этого следует, что принцип двойственности вдвое сокращает время доказательства теорем: вместе с каждой теоремой мы автоматически доказываем двойственную ей.

Выпускная квалификационная работа
«Развитие умения рассуждать младшими
школьниками при изучении элементов
математической логики»
Студентки заочного отделения
Ворониной Ксении
Научный руководитель:
Кандидат педагогических наук, доцент
Налимова Ирина Владимировна.
Ярославль
2016

Понятийный аппарат ВКР

Объект исследования - процесс обучения
младших школьников математике.
Предмет исследования – процесс изучения
элементов математической логики в
начальной школе.

Цель работы: разработать
комплекс заданий для учащихся
начальных классов,
направленный на развитие
умения рассуждать и проверить
его эффективность.

Задачи исследования:
1.охарактеризовать теоретические положения
изучения элементов логики в начальной
школе;
2.Выполнить анализ учебников математики
начальной школы;
3.Разработать комплекс заданий.

Аристотель

Г. В. Лейбниц
Дж. Буль

ОПЕРАЦИИ

Конъюнкция
A
B
A B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1

Дизъюнкция

A
B
A B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1

Импликация

A
B
A B
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1

Эквиваленция

A
B
A B
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1

Отрицание

A
Отрицание
A
0
1
1
0

Законы логики

З. Тождества
З. Противоречия;
З. Исключения третьего
З. Двойного отрицания

Задания на констатирующий этап

1. Запиши номер только истинного высказывания.
Некоторые фигуры на рисунке – прямоугольники.
На рисунке нет ни одного круга.

2. Напиши высказывания,
противоположные по смыслу данным:
Люда умеет варить кашу.

___
Вася не ест фрукты.
_
___
Ученики всегда пишут грамотно.
________________________________________
___

Толя веселее, чем Катя. Катя
веселее, чем Алик. Кто
веселее всех?

Результаты констатирующего этапа эксперимента

100%
Результаты констатирующего этапа
эксперимента
90%
86%
80%
72%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
14%
14%
14%
10%
0%
0%
Высокий уровень
Средний уровень
Экспериментальный класс
Низкий уровень
Контрольный класс

Задания на формирующий этап

1 группа Задания на умение составлять
высказывания с частицей «не»
1.Рыбы живут в лесах.
_______________________________________
_____________________
2. Пингвин умеет летать.
_______________________________________
_____________________

2 группа Задания для развития умения
строить высказывания;
Составь ложные(неправда) высказывания по
картинке.

3 группа Задания для развития
умения решать логические
задачи
Груша тяжелее яблока, а персик
легче яблока. Какой из фруктов
самый тяжелый?

Задания на умение находить истинностьложность высказываний.
В одном из горшков лежит мед. Помоги Винни
Пуху найти мед, если известно, что надписи
либо обе истинны, либо обе ложны.
Раскрась этот горшок.

Задания для контрольного этапа

Если высказывание истинно, напиши около него букву И,
если ложно, то букву Л.
1. Все предметы на рисунке – растения___.
2. На рисунке нет ни одного цветка___.
3. Некоторые предметы на рисунке – растения___.
4. Каждое растение на рисунке – куст___.
5. Все деревья на рисунке – хвойные___.
6. На рисунке есть деревья___.
Напиши для этого рисунка одно истинное высказывание, а
другое ложное.

Результаты контрольного этапа эксперимента

100%
90%
86%
80%
72%
70%
60%
50%
40%
30%
28%
20%
14%
10%
0%
0%
0%
Высокий уровень
Средний уровень
Экспериментальный класс
Низкий уровень
Контрольный класс

Сравнение результатов констатирующего и контрольного этапов эксперимента. Экспериментальная группа.

100%
90%
86%
80%
72%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
14%
14%
14%
10%
0%
0%
Высокий уровень
Средний уровень
Констатирующий этап
Контрольный этап
Низкий уровень

Сравнение результатов констатирующего и контрольного этапов эксперимента. Контрольная группа.

100%
90%
86%
86%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
14%
14%
10%
0%
0%
0%
Высокий уровень
Средний уровень
Констатирующий этап
Контрольный этап
Низкий уровень